Logistics人口模型
以 Logistics 模型为基础的人口模型优化。
1 Logistics 增长模型
1.1 模型建立
传统的马尔萨斯人口增长模型将人口增长率 r 定为常数，从而人口数量 x 呈指数增长。但是现实中，人口增长受到自然资源和环境资源等的限制，存在一个上限，即最大人口容量 $x_{max}$。
从而，人口增长率 r 应该与人口数量 x 相关：
\[\begin{cases} \frac{dx}{dt}=r(x)x \\ x(0)=x_0 \end{cases} \tag{1}\]其中，收到人口容量的影响，r(x) 应该为减函数，假设：
\[r(x)=r_0-\alpha x \tag{2}\]$r_0$ 为固有增长率。
当人口达到最大容量 $x_{max}$ 时， $r(x_{max})=0$ ，可以得到 $\alpha = \frac{r_0}{x_{max}}$ ，从而方程 (1) 可以写成：
\[\begin{cases} \frac{dx}{dt}=(r_0-\frac{r_0x}{x_{max}}) \\ x(0)=x_0 \end{cases} \tag{3}\]求解微分方程 (3)：
\[x(t)=\frac{x_{max}}{1+(\frac{x_{max}}{x_0}-1)e^{-r_0t}} \tag{4}\]1.2 参数估计与模型拟合
通过方程 (2) 和 $\alpha =\frac{r_0}{x_{max}}$ ，可以得到：
\[r(x)=r_0-\frac{r_0}{x_{max}}x \tag{5}\]使用中国 1961-2023 年人口数据对方程 (5) 进行拟合，得到参数：
\[x_{max} = \\ r_0 =\]将以上参数代入方程 (4)，得到预测人口数据 x(t) 与实际人口数据 x 之间的比较结果：
利用 2-范数对模型你和误差做估计：
\[Err=||x(t)-x||_2=\]2 改进的 Logistics 增长模型
2.1 模型优化
人口增长率 r 不仅与人口数量 x 有关，同时也与时间 t 相关：
\[r(x, t)=\phi(x)T(t)\]将上式带入方程 (1)，得到优化的 Logistics 模型：
\[\begin{cases} \frac{dx}{dt}=\phi (x) T(t)x \\ x(0)=x_0 \end{cases} \tag{6}\]2.2 $\phi (x)$ 拟合分析
从最开始的 Logistics 模型分析，设 $\phi (x)$ 为人口数量的一次函数：
\[\phi (x)=r_0-\alpha x\]其中， $r_0$ 为固有增长率。
当人口达到最大容量 $x_{max}$ 时， $\phi (x_{max})=0$ ，可以得到 $\alpha = \frac{r_0}{x_{max}}$ ，从而方程 (6) 可以写成：
\[\begin{cases} \frac{dx}{dt}=(r_0-\frac{r_0}{r_{max}}x)T(t)x \\ x(0)=x_0 \end{cases} \tag{7}\]求解微分方程 (7)；
\[x(t)=\frac{x_{max}}{(\frac{x_{max}}{x_0}-1)e^{-\int_0 ^t r_0T(\tau)d\tau+1}} \tag{8}\]2.3 $T(t)$ 拟合分析
对方程 (8) 做整形：
\[\int ^t _0 r_0 T(\tau)d\tau = ln\frac{x(t)(x_{max}-x_0)}{x_0(x_{max} - x(t))} \tag{9}\]假设 $T(\tau)$ 为关于 t 的 n 次多项式：
\[T(t) = a_1t^n + a_2t^{t-1} + ... + a_nt + a_{n+1}\]将上式带入方程 (8)，得到：
\[k_1t^{n+1}+k_2t^n+...+k_{n+1}t=ln \frac{x(t)(x_m-x_0)}{x_0(x_m-x(t))} \tag{10}\]其中， $k_1=\frac{r_0a_1}{n+1}，k_2=\frac{r_0a_2}{n}，…，k_n=\frac{r_0a_n}{2}，k_{n+1}=r_0a_{n+1}$
通过 1961-2023 年中国人口总数的数据对方程 (10) 进行拟合，得到系数：
\[k_1, k_2, ..., k_{n+1}\]- 当 $T(t)$ 为关于 t 的二次多项式时，拟合后的误差为：
- 当 $T(t)$ 为关于 t 的三次多项式时，拟合后的误差为：
- 当 $T(t)$ 为关于 t 的四次多项式时，拟合后的误差为：
在 $T(t)$ 为关于 t 的三次多项式时，拟合度最高。
选择 $T(t)$ 为关于 t 的三次多项式，使用 1961-2023 年中国人口总数的数据对方程 (10) 进行拟合得到参数：
$x_m=$
$k_1=$
$k_2=$
$k_3=$
$k_4=$
2.3 模型拟合
由前面得到的参数拟合得到图像：
3 总结
| 人口模型 | 最大人口容量（万人） | 误差（2-范数） | 预测达到最大人口的时间 |
|---|---|---|---|
| Logistics 模型 | |||
| 改进的 Logistics 模型 |
改进的 Logistics 模型在 Logistics 模型的基础上，在考虑人口增长率的时候，加入了时间变量 t，即人口增长率为关于人口数 x 和时间 t 的函数。
改进的 Logistics 模型对人口数据的拟合误差更小，具有更高的拟合精度。
这里使用的 Logistics 模型和改进的 Logistics 模型都是比较粗糙的，没有考虑人口出生率、人口死亡率以及国家宏观调控、科技进步、国民生育率和生育期望的变化等诸多因素的影响，只是对人口数据的简单拟合。
对人口变化更加精确的模拟和预测需要考虑这些诸多因素，Logistics 模型还不具备这样的效果。